光彈性法原理

1.2.1 理論基礎(chǔ)

光具有波動性，振動方向和傳播方向垂直，光源所發(fā)射的光包含一系列向各個方向振動的光波。如圖1.1所示，通過引入偏振器P，只有和偏振器偏振軸平行的振動分量能通過，該通過的光波被稱為平面偏振光。如果光路中有另一個偏振器A，當(dāng)兩偏振器的偏振軸相互垂直時，光束將會被完全阻隔。

圖1.1 光的偏振

光在真空中或者空氣中的傳播速度為，在其他介質(zhì)中，光的傳播速度為較低的，比值被稱為折射率。不考慮傳播方向和平面振動的情況下，均勻介質(zhì)的折射率為常數(shù)，然而在晶體中，折射率取決于振動方向下相對于折射率主軸的方向。在各向異性晶體中一點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì)在幾何上也可以用折射率橢球表示為

而在三向應(yīng)力狀態(tài)下，一點(diǎn)的應(yīng)力可以用橢球應(yīng)力方程表示為

其中，橢球的三個主軸即為該點(diǎn)的應(yīng)力主軸。

比較式(1.1)和(1.2)可以看出，應(yīng)力橢球和折射率橢球的應(yīng)力主軸和折射率主軸重合。各向同性的透明固體材料在應(yīng)力作用下能表現(xiàn)出和晶體一樣的雙折射效應(yīng)，而點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)于光學(xué)性質(zhì)又存在著上述對應(yīng)關(guān)系，這是建立光彈性應(yīng)力分析的基礎(chǔ)。一些材料（尤其是塑料）在無應(yīng)力狀態(tài)下表現(xiàn)為各向同性，而在應(yīng)力狀態(tài)下則表現(xiàn)為各向異性。

圖1.2 平面偏振系統(tǒng)

當(dāng)偏振光通過厚的塑料板的一點(diǎn)時，該點(diǎn)的主應(yīng)力方向分別為X和Y，光矢量被分為兩束偏振光并沿著平面X和Y傳播，如圖1.2所示。如果沿X和Y方向的應(yīng)力大小分別為和，沿該方向振動的光波光速分別為和，每束光通過平板的傳播時間為和，那么兩束光間的光程差為

應(yīng)力光學(xué)定律表示為

式中，K為稱為“應(yīng)力光性系數(shù)”，用于描述材料的物理性質(zhì)，它通常是通過校正得到的非尺寸常數(shù)，和應(yīng)變計的“靈敏度”相似。結(jié)合等式(1.3)和(1.4)可以得到

最終得到光彈法的基本測量關(guān)系式

兩束偏振光間存在相對滯后，兩束光由該塑料射出時不再同相位。檢偏鏡A僅使這些光中的偏振方向與偏振軸平行的分量通過，如圖1.2所示，這些偏振光將相互干涉，光強(qiáng)是光程差、分析鏡與主應(yīng)力方向的夾角的函數(shù)。

在平面偏振系統(tǒng)中，出射光的光強(qiáng)為

式中，為入射光波長。當(dāng)或者相交的偏振鏡和分析鏡平行于主應(yīng)力方向時，光強(qiáng)為零，所以平面偏振系統(tǒng)用于測量主應(yīng)力方向。

圖1.3 圓偏振系統(tǒng)

如圖1.3所示，在光路中加入四分之一波片后，將得到圓偏振光，由此得到的圖像不再受主應(yīng)力方向的影響，而此時的光強(qiáng)為

在圓偏振系統(tǒng)中，在，時，光強(qiáng)為零。正整數(shù)N也是條紋級數(shù)，由此，光程差就可以用N來表示，已知就能得到主應(yīng)力差

式中，為材料條紋值，與材料所使用的光源有關(guān)，單位N/mm，表示單位厚度的模型產(chǎn)生一級條紋所需主應(yīng)力差值。

光強(qiáng)為零的點(diǎn)形成的軌跡的特點(diǎn)是主應(yīng)力差相等，因此稱為等差線。只要知道了模型材料的厚度t、材料的條紋值f_σ和條紋級數(shù)N，就可以得到該點(diǎn)的主應(yīng)力差值。

1.2.2 光彈性模型

在光彈性實(shí)驗(yàn)中，材料條紋值f_σ是一個關(guān)鍵參數(shù)，也是唯一的一個聯(lián)系力學(xué)量和光學(xué)量的常數(shù)，需要得到小數(shù)點(diǎn)后2到3位的精度。特別地，對于對徑壓縮圓盤中心點(diǎn)上的條紋級數(shù)與載荷的關(guān)系有

式中，N_c為圓盤中心點(diǎn)上的條紋級數(shù)，D為圓盤直徑。

使用盡可能多的數(shù)據(jù)來計算材料的應(yīng)力條紋值，假設(shè)與殘余雙折射相關(guān)的條紋級數(shù)是位置坐標(biāo)(x, y)的線性函數(shù)，即

式中，A，B，C為常數(shù)。任一點(diǎn)的條紋級數(shù)等于理論值和殘余條紋級數(shù)之和，由應(yīng)力-光學(xué)定律，有

為了計算機(jī)實(shí)現(xiàn)，另，并根據(jù)對徑壓縮圓盤理論得到

式中，R為圓盤半徑。則對于任一點(diǎn)有條紋級數(shù)為

這樣從實(shí)驗(yàn)得到的一系列光彈性數(shù)據(jù)(x, y, N)，可使用最小二乘標(biāo)準(zhǔn)來確定未知數(shù)f_σ。

以直徑30 mm、厚4.8 mm的聚碳酸酯圓板為例，如圖1.4所示為一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖，圖像放大率30/476 = 0.06302521 mm/pixel，迭代得到的材料條紋值為，如圖1.5所示為不同載荷下人工得到的材料條紋值條形圖，其平均值為。由于具有一定寬度的等色線條紋難以憑視覺準(zhǔn)確判斷是否通過圓盤中心，而且圓盤中心位置也難以人工準(zhǔn)確確定，因此人工測試結(jié)果存在不可避免的人為誤差，要通過多次測量平均來盡可能消除。

綜上所述，該聚碳酸酯模型所具有的材料條紋值為f_σ = 7.80 N/mm。